Kalkulator objętości cylindra

Wzór na objętość prawego cylindra to:

Formuła działa w ten sposób, że najpierw oblicza się pole podstawy kołowej (π × r²), a następnie mnoży pole podstawy przez wysokość walca. Wynikiem jest objętość cylindra w jednostkach sześciennych.

W przypadku użycia średnicy zamiast promienia wzór na objętość cylindra wygląda następująco: V = π × (d/2)² × h lub równoważnie V = (π × d² × h) / 4, gdzie d jest średnicą cylindra.

Poniższy diagram objętości cylindra pokazuje wszystkie wymiary potrzebne do obliczenia objętości cylindra. Najedź kursorem na każdy oznaczony wymiar, aby zobaczyć jego rolę we wzorze na objętość cylindra.

Aby obliczyć objętość cylindra, wykonaj następujące 3 kroki:

1. Zmierz promień walca. Zmierz odległość od środka okrągłej podstawy do jej krawędzi. Promień może być wyrażany w dowolnej jednostce — centymetrach (cm), metrach (m), calach (calach) lub stopach (ft). Do fizycznych cylindrów użyj linijki lub taśmy mierniczej.
2. Podnieś promień do kwadratu i pomnóż wynik przez Pi (π). Spowoduje to obliczenie pola okrągłej podstawy. Dla walca o promieniu 5 cm: π × 5² = π × 25 = 78,54 cm².
3. Pomnóż powierzchnię podstawy przez wysokość walca. Ostatecznym wynikiem będzie objętość cylindra. Dla cylindra o promieniu 5 cm i wysokości 10 cm: 78,54 × 10 = 785,40 cm3 (0,785 litra lub około 0,21 galona amerykańskiego).

Pusty cylinder, zwany także powłoką cylindryczną, to cylinder z mniejszym cylindrem usuniętym ze środka. Obydwa cylindry mają tę samą oś pionową. Przykładami pustych cylindrów są słomki do napojów, fajki wodne i rolki papieru toaletowego.

Objętość pustego cylindra wynosi:

Gdzie R to promień zewnętrzny, r to promień wewnętrzny, a h to wysokość walca.

W tym samym wzorze można zastosować średnicę zewnętrzną (D) i średnicę wewnętrzną (d): V = π × h × [(D² − d²) / 4].

Dla rolki papieru toaletowego o średnicy zewnętrznej 11 cm (promień zewnętrzny 5,5 cm), średnicy wewnętrznej 4 cm (promień wewnętrzny 2 cm) i wysokości 9 cm: V = π × 9 × (5,5² − 2²) = π × 9 × (30,25 − 4) = π × 9 × 26,25 = 742,2 cm³. Objętość ta reprezentuje przestrzeń zajmowaną przez papier i tekturę.

Walec skośny (lub walec skośny) to walec, którego boki nie są prostopadłe do podstaw. Skośny cylinder przechyla się na jedną stronę, w przeciwieństwie do standardowego prawego cylindra, który stoi prosto.

Wzór na objętość walca skośnego jest taki sam, jak w przypadku walca prawego: V = π × r² × h. Kluczowa różnica polega na tym, że wysokość (h) musi być wysokością prostopadłą — najkrótszą odległością między dwiema równoległymi podstawami — a nie długością nachylonego boku.

Działa to zgodnie z zasadą Cavalieriego: dwie bryły 3D o równych polach przekroju poprzecznego na każdej wysokości mają tę samą objętość. Pochylenie cylindra nie zmienia powierzchni przekrojów kołowych na żadnej wysokości.

Objętość nachylonego walca opiera się na kącie nachylenia i długości boku zamiast wysokości prostopadłej. Takie podejście jest praktyczne, gdy wysokość prostopadła jest trudna do bezpośredniego zmierzenia.

Wzór na objętość nachylonego cylindra to:

Gdzie r to promień walca, L to długość boku (długość skosu), a θ to kąt nachylenia między bokiem a podstawą.

Aby obliczyć objętość pochyłego walca, wykonaj następujące 6 kroków:

1. Znajdź promień, długość boku i kąt nachylenia walca.
2. Podstaw promień do kwadratu.
3. Pomnóż wynik przez Pi (π).
4. Weź grzech kąta.
5. Pomnóż grzech przez długość boku.
6. Pomnóż przez siebie wyniki z kroków 3 i 5. Wynikiem będzie nachylona objętość cylindra.

Walec eliptyczny ma za podstawę elipsę, a nie okrąg. Elipsa ma dwa promienie: oś główną (największy promień, często oznaczany jako a) i oś mniejszą (najmniejszy promień, często oznaczany jako b).

Wzór na objętość cylindra eliptycznego to:

Gdzie a to oś główna (największy promień), b to oś pomocnicza (najmniejszy promień), a h to wysokość walca.

Gdy a = b, elipsa staje się okręgiem, a wzór sprowadza się do standardowego wzoru na objętość walca: V = π × r² × h.

Owalny walec ma jako podstawę owal (elipsę), a nie okrąg. Terminy „walec owalny” i „walec eliptyczny” opisują tę samą bryłę 3D — cylinder o eliptycznym przekroju poprzecznym.

Aby znaleźć objętość owalnego walca, wykonaj następujące 4 kroki:

1. Pomnóż najmniejszy promień owalu (oś mała) przez największy promień (oś główna).
2. Pomnóż iloczyn przez Pi (π). Otrzymasz pole podstawy eliptycznej.
3. Pomnóż powierzchnię podstawy przez wysokość walca.
4. Rezultatem jest objętość owalnego cylindra.

Dla owalnego cylindra z osią większą 8 cm, osią mniejszą 5 cm i wysokością 12 cm: V = π × 8 × 5 × 12 = π × 480 = 1507,96 cm3 (1,508 litra lub około 0,398 galona amerykańskiego).

Prawy cylinder to cylinder, którego boki są prostopadłe (pod kątem 90°) do okrągłych podstaw. Termin „prawo” oznacza, że ​​oś łącząca środki dwóch podstaw jest ustawiona pod kątem prostym do podstaw. Większość butli spotykanych w życiu codziennym – puszki, butelki, fajki – to butle właściwe.

Objętość prawego walca wynika ze standardowego wzoru na objętość walca: V = π × r² × h, gdzie r to promień walca, a h to wysokość walca.

Różnica między cylindrem prawym a cylindrem ukośnym polega na orientacji osi. Prawy cylinder stoi prosto, podczas gdy ukośny cylinder przechyla się. Oba mają tę samą objętość, gdy prostopadła wysokość i promień są równe.

Kula wpisana w cylinder (dotykająca obu podstaw i boku) ma określony stosunek objętości do tego cylindra. Objętość kuli wynosi dwie trzecie (⅔) objętości cylindra.

Formuły są następujące:

• Objętość cylindra = π × r² × h = π × r² × 2r = 2πr³
• Objętość kuli = (4/3) × π × r³ = (4/3)πr³
• Stosunek: Kula / Walec = (4/3)πr³ / 2πr³ = 2/3

Dla cylindra o promieniu 5 cm i wysokości 10 cm (2r): objętość cylindra = 2π × 125 = 785,40 cm3. Wpisana objętość kuli = (4/3) × π × 125 = 523,60 cm³, co stanowi dokładnie ⅔ z 785,40.

Stożek o tym samym promieniu i wysokości co walec ma dokładnie jedną trzecią (⅓) objętości. Zależność ta jest podstawową właściwością brył 3D.

Wzory pokazują zależność:

• Objętość cylindra = π × r² × godz
• Objętość stożka = (1/3) × π × r² × godz
• Stosunek: stożek/cylinder = 1/3

3 stożki o identycznym promieniu i wysokości wypełniają dokładnie 1 cylinder. Można to wykazać napełniając stożek trzykrotnie wodą i wlewając wodę do cylindra o tych samych wymiarach – cylinder napełnia się całkowicie.