Zylindervolumenrechner

Die Zylindervolumenformel für einen rechten Zylinder lautet:

Die Formel funktioniert, indem sie zunächst die Fläche der kreisförmigen Grundfläche (π × r²) berechnet und dann die Grundfläche mit der Höhe des Zylinders multipliziert. Das Ergebnis ist das Zylindervolumen in Kubikeinheiten.

Wenn Durchmesser statt Radius verwendet wird, lautet die Zylindervolumenformel: V = π × (d/2)² × h, oder äquivalent V = (π × d² × h) / 4, wobei d der Durchmesser des Zylinders ist.

Das folgende Zylindervolumendiagramm zeigt alle Maße, die zur Berechnung des Zylindervolumens erforderlich sind. Bewegen Sie den Mauszeiger über jede beschriftete Dimension, um ihre Rolle in der Zylindervolumenformel zu sehen.

Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, befolgen Sie diese 3 Schritte:

1. Messen Sie den Radius des Zylinders. Messen Sie den Abstand von der Mitte der kreisförmigen Basis bis zu ihrer Kante. Der Radius kann in jeder beliebigen Einheit angegeben werden: Zentimeter (cm), Meter (m), Zoll (in) oder Fuß (ft). Verwenden Sie für physische Zylinder ein Lineal oder ein Maßband.
2. Quadrieren Sie den Radius und multiplizieren Sie das Ergebnis mit Pi (π). Dadurch wird die Fläche der kreisförmigen Grundfläche berechnet. Für einen Zylinder mit einem Radius von 5 cm: π × 5² = π × 25 = 78,54 cm².
3. Multiplizieren Sie die Grundfläche mit der Höhe des Zylinders. Das Endergebnis ist das Zylindervolumen. Für einen Zylinder mit einem Radius von 5 cm und einer Höhe von 10 cm: 78,54 × 10 = 785,40 cm³ (0,785 Liter oder etwa 0,21 US-Gallonen).

Ein Hohlzylinder, auch Zylinderschale genannt, ist ein Zylinder, in dessen Mitte sich ein kleinerer Zylinder befindet. Beide Zylinder haben die gleiche vertikale Achse. Beispiele für Hohlzylinder sind Trinkhalme, Wasserpfeifen und Toilettenpapierrollen.

Das Volumen einer Hohlzylinderformel lautet:

Dabei ist R der Außenradius, r der Innenradius und h die Höhe des Zylinders.

Die gleiche Formel kann den Außendurchmesser (D) und den Innendurchmesser (d) verwenden: V = π × h × [(D² − d²) / 4].

Für eine Toilettenpapierrolle mit einem Außendurchmesser von 11 cm (5,5 cm Außenradius), einem Innendurchmesser von 4 cm (2 cm Innenradius) und einer Höhe von 9 cm: V = π × 9 × (5,5² − 2²) = π × 9 × (30,25 − 4) = π × 9 × 26,25 = 742,2 cm³. Dieses Volumen stellt den von Papier und Karton eingenommenen Raum dar.

Ein schräger Zylinder (oder schräger Zylinder) ist ein Zylinder, dessen Seiten nicht senkrecht zu den Grundflächen stehen. Der schräge Zylinder neigt sich zu einer Seite, im Gegensatz zu einem normalen rechten Zylinder, der gerade steht.

Die Zylindervolumenformel für einen schrägen Zylinder ist dieselbe wie für einen rechten Zylinder: V = π × r² × h. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Höhe (h) die senkrechte Höhe sein muss – der kürzeste Abstand zwischen den beiden parallelen Basen – und nicht die Länge der schrägen Seite.

Dies funktioniert aufgrund des Cavalieri-Prinzips: Zwei 3D-Körper mit gleichen Querschnittsflächen in jeder Höhe haben das gleiche Volumen. Das Kippen eines Zylinders verändert die Fläche kreisförmiger Querschnitte in keiner Höhe.

Das Volumen eines geneigten Zylinders verwendet den Neigungswinkel und die Seitenlänge anstelle der senkrechten Höhe. Dieser Ansatz ist praktisch, wenn die senkrechte Höhe schwer direkt zu messen ist.

Die Formel für das schräge Zylindervolumen lautet:

Dabei ist r der Radius des Zylinders, L die Seitenlänge (Neigungslänge) und θ der Neigungswinkel zwischen der Seite und der Basis.

Um das Volumen eines schrägen Zylinders zu berechnen, befolgen Sie diese 6 Schritte:

1. Ermitteln Sie den Radius, die Seitenlänge und den Neigungswinkel des Zylinders.
2. Quadrieren Sie den Radius.
3. Multiplizieren Sie das Ergebnis mit Pi (π).
4. Nehmen Sie die Sünde des Winkels.
5. Multiplizieren Sie die Sünde mit der Seitenlänge.
6. Multiplizieren Sie die Ergebnisse aus den Schritten 3 und 5. Das Ergebnis ist das schräge Zylindervolumen.

Ein elliptischer Zylinder hat anstelle eines Kreises eine Ellipse als Basis. Eine Ellipse hat zwei Radien: die Hauptachse (größter Radius, oft mit a bezeichnet) und die kleine Achse (kleinster Radius, oft mit b bezeichnet).

Die Formel für das Volumen eines elliptischen Zylinders lautet:

Dabei ist a die Hauptachse (größter Radius), b die Nebenachse (kleinster Radius) und h die Höhe des Zylinders.

Wenn a = b, wird die Ellipse zu einem Kreis und die Formel reduziert sich auf die Standardformel für das Zylindervolumen: V = π × r² × h.

Ein ovaler Zylinder hat als Grundfläche ein Oval (Ellipse) und nicht einen Kreis. Die Begriffe „ovaler Zylinder“ und „elliptischer Zylinder“ beschreiben denselben 3D-Körper – einen Zylinder mit elliptischem Querschnitt.

Um das Volumen eines ovalen Zylinders zu ermitteln, befolgen Sie diese 4 Schritte:

1. Multiplizieren Sie den kleinsten Radius des Ovals (Nebenachse) mit dem größten Radius (Hauptachse).
2. Multiplizieren Sie das Produkt mit Pi (π). Dies ergibt die Fläche der elliptischen Basis.
3. Multiplizieren Sie die Grundfläche mit der Höhe des Zylinders.
4. Das Ergebnis ist das Volumen des ovalen Zylinders.

Für einen ovalen Zylinder mit einer Hauptachse von 8 cm, einer Nebenachse von 5 cm und einer Höhe von 12 cm: V = π × 8 × 5 × 12 = π × 480 = 1.507,96 cm³ (1,508 Liter oder etwa 0,398 US-Gallonen).

Ein rechter Zylinder ist ein Zylinder, dessen Seiten senkrecht (im 90°-Winkel) zu den kreisförmigen Grundflächen stehen. Der Begriff „rechts“ bedeutet, dass die Achse, die die Mittelpunkte der beiden Basen verbindet, im rechten Winkel zu den Basen steht. Die meisten Zylinder, denen man im Alltag begegnet – Dosen, Flaschen, Pfeifen – sind richtige Zylinder.

Für das Volumen eines rechten Zylinders wird die Standardformel für das Zylindervolumen verwendet: V = π × r² × h, wobei r der Radius des Zylinders und h die Höhe des Zylinders ist.

Der Unterschied zwischen einem geraden Zylinder und einem schrägen Zylinder ist die Ausrichtung der Achse. Ein rechter Zylinder steht gerade, während ein schräger Zylinder geneigt ist. Beide haben das gleiche Volumen, wenn die senkrechte Höhe und der Radius gleich sind.

Eine in einen Zylinder eingeschriebene Kugel (die beide Basen und die Seite berührt) steht in einer bestimmten Volumenbeziehung zu diesem Zylinder. Das Kugelvolumen entspricht zwei Drittel (⅔) des Zylindervolumens.

Die Formeln lauten:

• Zylindervolumen = π × r² × h = π × r² × 2r = 2πr³
• Kugelvolumen = (4/3) × π × r³ = (4/3)πr³
• Verhältnis: Kugel / Zylinder = (4/3)πr³ / 2πr³ = 2/3

Für einen Zylinder mit Radius 5 cm und Höhe 10 cm (2r): Zylindervolumen = 2π × 125 = 785,40 cm³. Das eingeschriebene Kugelvolumen = (4/3) × π × 125 = 523,60 cm³, was genau ⅔ von 785,40 ist.

Ein Kegel mit dem gleichen Radius und der gleichen Höhe wie ein Zylinder hat genau ein Drittel (⅓) des Volumens. Diese Beziehung ist eine grundlegende Eigenschaft von 3D-Körpern.

Die Formeln zeigen den Zusammenhang:

• Zylindervolumen = π × r² × h
• Kegelvolumen = (1/3) × π × r² × h
• Verhältnis: Kegel / Zylinder = 1/3

3 Kegel mit identischem Radius und gleicher Höhe füllen genau 1 Zylinder. Dies lässt sich demonstrieren, indem man einen Kegel dreimal mit Wasser füllt und das Wasser in einen Zylinder gleicher Größe gießt – der Zylinder füllt sich vollständig.