حاسبة حجم الاسطوانة

صيغة حجم الأسطوانة للأسطوانة اليمنى هي:

تعمل الصيغة أولًا بحساب مساحة القاعدة الدائرية (π × r²)، ثم ضرب مساحة القاعدة في ارتفاع الأسطوانة. والنتيجة هي حجم الاسطوانة في الوحدات المكعبة.

عند استخدام القطر بدلاً من نصف القطر، تصبح صيغة حجم الأسطوانة: V = π × (d/2)² × h، أو ما يعادلها V = (π × d² × h) / 4، حيث d هو قطر الأسطوانة.

يوضح الرسم البياني لحجم الأسطوانة أدناه جميع الأبعاد اللازمة لحساب حجم الأسطوانة. قم بالتمرير فوق كل بُعد مُسمى لرؤية دوره في معادلة حجم الأسطوانة.

لحساب حجم الأسطوانة، اتبع الخطوات الثلاث التالية:

1. قم بقياس نصف قطر الأسطوانة. قم بقياس المسافة من مركز القاعدة الدائرية إلى حافتها. يمكن أن يكون نصف القطر بأي وحدة — سنتيمتر (سم)، متر (م)، بوصة (بوصة)، أو قدم (قدم). استخدم مسطرة أو شريط قياس للأسطوانات المادية.
2. تربيع نصف القطر ثم اضرب النتيجة في Pi (π). يؤدي هذا إلى حساب مساحة القاعدة الدائرية. لأسطوانة نصف قطرها 5 سم: π × 5² = π × 25 = 78.54 سم².
3. اضرب مساحة القاعدة في ارتفاع الأسطوانة. والنتيجة النهائية هي حجم الأسطوانة. لأسطوانة نصف قطرها 5 سم وارتفاعها 10 سم: 78.54 × 10 = 785.40 سم مكعب (0.785 لتر أو حوالي 0.21 جالون أمريكي).

الأسطوانة المجوفة، والتي تسمى أيضًا الغلاف الأسطواني، عبارة عن أسطوانة بها أسطوانة أصغر تمت إزالتها من مركزها. كلا الأسطوانتين تشتركان في نفس المحور الرأسي. تعتبر ماصات الشرب وأنابيب المياه ولفائف ورق التواليت أمثلة على الأسطوانات المجوفة.

حجم صيغة الاسطوانة المجوفة هو:

حيث R هو نصف القطر الخارجي، وr هو نصف القطر الداخلي، وh هو ارتفاع الأسطوانة.

يمكن أن تستخدم الصيغة نفسها القطر الخارجي (D) والقطر الداخلي (d): V = π × h × [(D² − d²) / 4].

لفافة ورق تواليت بقطر خارجي 11 سم (5.5 سم نصف قطر خارجي)، وقطر داخلي 4 سم (2 سم نصف قطر داخلي)، وارتفاع 9 سم: V = π × 9 × (5.5² − 2²) = π × 9 × (30.25 − 4) = π × 9 × 26.25 = 742.2 سم³. يمثل هذا الحجم المساحة التي يشغلها الورق والكرتون.

الأسطوانة المائلة (أو الأسطوانة المائلة) هي أسطوانة لا تكون جوانبها متعامدة مع القواعد. تميل الأسطوانة المائلة إلى جانب واحد، على عكس الأسطوانة اليمنى القياسية التي تقف بشكل مستقيم.

صيغة حجم الأسطوانة للأسطوانة المائلة هي نفسها للأسطوانة القائمة: V = π × r² × h. الفرق الرئيسي هو أن الارتفاع (h) يجب أن يكون الارتفاع العمودي — أقصر مسافة بين القاعدتين المتوازيتين — وليس طول الجانب المائل.

يعمل هذا بسبب مبدأ كافاليري: جسمان صلبان ثلاثي الأبعاد لهما مساحات مقطعية متساوية عند كل ارتفاع لهما نفس الحجم. إمالة الأسطوانة لا تغير مساحة المقاطع العرضية الدائرية عند أي ارتفاع.

يستخدم حجم الأسطوانة المائلة الزاوية المائلة وطول الجانب بدلاً من الارتفاع العمودي. يعد هذا الأسلوب عمليًا عندما يكون من الصعب قياس الارتفاع العمودي بشكل مباشر.

صيغة حجم الاسطوانة المائلة هي:

حيث r هو نصف قطر الأسطوانة، وL هو طول الجانب (الطول المائل)، وθ هي الزاوية المائلة بين الجانب والقاعدة.

لحساب حجم الأسطوانة المائلة، اتبع الخطوات الست التالية:

1. أوجد نصف القطر وطول الجانب والزاوية المائلة للأسطوانة.
2. تربيع نصف القطر.
3. اضرب النتيجة في Pi (π).
4. خذ خطيئة الزاوية.
5. اضرب الخطيئة في طول الضلع.
6. اضرب نتائج الخطوتين 3 و5 معًا. والنتيجة هي حجم الأسطوانة المائل.

الأسطوانة البيضاوية لها شكل بيضاوي كقاعدة لها بدلاً من الدائرة. يحتوي الشكل الناقص على نصفي قطر: المحور الرئيسي (نصف القطر الأكبر، يُسمى غالبًا a) والمحور الأصغر (أصغر نصف قطر، ويُسمى غالبًا b).

صيغة حجم الاسطوانة البيضاوية هي:

حيث a هو المحور الرئيسي (أكبر نصف قطر)، وb هو المحور الأصغر (أصغر نصف قطر)، وh هو ارتفاع الأسطوانة.

عندما يكون a = b، يصبح القطع الناقص دائرة ويتم تقليل الصيغة إلى صيغة حجم الأسطوانة القياسية: V = π × r² × h.

تحتوي الأسطوانة البيضاوية على شكل بيضاوي (شكل ناقص) كقاعدة لها وليس على شكل دائرة. المصطلحان "الأسطوانة البيضاوية" و"الأسطوانة الإهليلجية" يصفان نفس المادة الصلبة ثلاثية الأبعاد - أسطوانة ذات مقطع عرضي بيضاوي الشكل.

للعثور على حجم الأسطوانة البيضاوية، اتبع الخطوات الأربع التالية:

1. اضرب أصغر نصف قطر للشكل البيضاوي (المحور الأصغر) بأكبر نصف قطر (المحور الرئيسي).
2. اضرب الناتج في Pi (π). وهذا يعطي مساحة القاعدة الإهليلجية.
3. اضرب مساحة القاعدة في ارتفاع الأسطوانة.
4. والنتيجة هي حجم الاسطوانة البيضاوية.

بالنسبة لأسطوانة بيضاوية محورها الرئيسي 8 سم، والمحور الأصغر 5 سم، وارتفاعها 12 سم: V = π × 8 × 5 × 12 = π × 480 = 1,507.96 سم³ (1.508 لتر أو حوالي 0.398 جالون أمريكي).

الأسطوانة اليمنى هي أسطوانة تكون جوانبها متعامدة (بزاوية 90 درجة) مع القواعد الدائرية. مصطلح "يمين" يعني أن المحور الذي يصل بين مركزي القاعدتين يقع في زاوية قائمة مع القاعدتين. معظم الأسطوانات التي نواجهها في الحياة اليومية - العلب والزجاجات والأنابيب - هي أسطوانات صحيحة.

يستخدم حجم الأسطوانة اليمنى صيغة حجم الأسطوانة القياسية: V = π × r² × h، حيث r هو نصف قطر الأسطوانة وh هو ارتفاع الأسطوانة.

الفرق بين الاسطوانة اليمنى والاسطوانة المائلة هو اتجاه المحور. تقف الأسطوانة اليمنى بشكل مستقيم، بينما تميل الأسطوانة المائلة. كلاهما لهما نفس الحجم عندما يكون الارتفاع العمودي ونصف القطر متساويين.

الكرة المنقوشة داخل الأسطوانة (التي تلامس القاعدتين والجانب) لها علاقة حجم محددة بتلك الأسطوانة. حجم الكرة يساوي ثلثي (⅔) حجم الأسطوانة.

الصيغ هي:

• حجم الأسطوانة = π × r² × h = π × r² × 2r = 2πr³
• حجم الكرة = (4/3) × π × r³ = (4/3)πr³
• النسبة: الكرة / الأسطوانة = (4/3)πr³ / 2πr³ = 2/3

لأسطوانة نصف قطرها 5 سم وارتفاعها 10 سم (2r): حجم الأسطوانة = 2π × 125 = 785.40 سم³. حجم الكرة المنقوشة = (4/3) × π × 125 = 523.60 سم مكعب، وهو بالضبط ⅔ 785.40.

المخروط الذي له نفس نصف القطر والارتفاع مثل الأسطوانة له بالضبط ثلث (⅓) الحجم. هذه العلاقة هي خاصية أساسية للمواد الصلبة ثلاثية الأبعاد.

توضح الصيغ العلاقة:

• حجم الأسطوانة = π × r² × h
• حجم المخروط = (1/3) × π × r² × h
• النسبة: المخروط / الأسطوانة = 1/3

3 مخاريط ذات نصف قطر وارتفاع متطابقين تملأ أسطوانة واحدة بالضبط. ويمكن إثبات ذلك عن طريق ملء مخروط بالماء ثلاث مرات وصب الماء في أسطوانة لها نفس الأبعاد - حيث تمتلئ الأسطوانة بالكامل.